面授课程 网校课程 | 招考信息 职位库 疯狂365 真题| 直播 砖题库 名师| 微信 微博 QQ群

027-87870401

2017省考备考:解不定方程——有法可依(二)

2016-12-23 08:48 湖北公务员考试网 来源:湖北华图    作者:万老师

  2017年湖北公务员考试已进入考前复习阶段,湖北人事考试网(http://hb.huatu.com/)将及时更新湖北公务员、湖北政法干警、湖北公务员、湖北事业单位等招考资讯。考生敬请关注【2017湖北公务员交流群1:205374853】,咨询电话:027-87870401

  在上一篇文章中笔者为大家介绍了不定方程的基本解法,即对于求解未知数本身的不定方程,可采取“奇偶性分析+代入排除”的方法求解,奇偶性分析的目的是为了初步判定所求未知数的奇偶性,排除部分选项,从而减少“代入”的次数,提高做题的速度。但是,在某些不定方程题目中,我们发现无法进行奇偶性分析,或者即使能进行奇偶性分析,但是问题却不是求解未知数的值,而是求解未知数的和或差,即x+y或x-y,此时“奇偶性分析+代入排除”的解题方法就不再适用。现在,笔者就带领各位考生继续学习不定方程另外的解题方法。

  【例1】某国的货币有5元和7元两种,如果用这两种面值的货币支付132元的货款,可有多少种不同的组合方式?(    )

  A.3    B.4

  C.5    D.6

  根据题目条件,设5元和7元货币数量分别为x、y,则可得方程:

  5x+7y=132

  按照之前“拿到不定方程先分析奇偶性”的思路,我们观察这个不定方程,132是偶数,但是“5x”与“7y”的奇偶性均无法确定,因此,“x”与“y”的奇偶性也就无法确定,所以,很显然此题不能用“奇偶性分析+代入排除”的解题方法。

  我们接着观察一下这个不定方程三个部分的尾数,“132”的尾数是2,“5x”的尾数是0或5,与之对应的可得“7y”的尾数是2或7,从而可以分析出“y”的尾数为6或1,我们可以枚举出“y”的取值为6、16、26、36……或1、11、21、31……由于钱的总数(132元)是有限的,因此,“7元”货币的数量也是有限的,可得不等式:7y≤132,即y≤18.此时,可缩小“y”的取值范围,y=6、16、1、11,代入方程,解得对应的x=18、4、25、11.所以,共有如下表所示的4种组合方式。因此,本题选择B选项。

5元 18 4 25 11
7元 6 16 1 11

  通过例1,我们不难发现,如果不定方程中的两个未知数(x、y)的系数均为奇数(5、7),此时无法分析不定方程的奇偶性。可尝试采用尾数法,尾数法的使用也是有一定条件的,要求两个未知项(5x、7y)的某一项尾数取值情况较少,如例1中“5x”的系数是“5”的倍数,故“5x”的尾数只有2种可能性(0或5)。另外,当未知项的系数是“10”的倍数时,该未知项的尾数只有1种可能性(0)。我们可以总结出尾数法的使用条件:当未知数的系数是5或者10的倍数时,该未知项的尾数取值情况较少,可采取尾数法分析,并结合枚举法和极值分析缩小未知数的取值范围。

  【例2】甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元,某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品。钱恰好用完,则这两种笔最多可买的支数是(    )。

  A.12    B.13

  C.16    D.19

  根据题目条件,设甲、乙两种笔的数量分别为x、y,则可得方程:

  7x+3y=60

  与例1类似,两个未知项(7x、3y)的系数均为奇数,因此本题不能进行奇偶性分析。同时两个未知项的系数(7、3)均不是5或10的倍数,因此本题也不宜采用尾数法。

  我们继续观察两个未知项的系数(7、3)与已知项(60),3和60均是3的倍数,即“3y”与“60”均是3的倍数,那么“7x”一定是3的倍数,进而可以判定“x”是3的倍数。本题要求“两种笔购买的支数最多”,那么购买的策略是贵的笔尽可能少买,便宜的笔尽可能多买,即令x取最小值3,解得,y取最大值13,此时x+y的取值最16.因此,本题选择C选项。

  通过例2,我们可以总结出不定方程适用倍数法的条件:若某个未知项的系数与已知项均是某个整数(非1)的倍数,则另一个未知数一定也是这个整数的倍数,再结合枚举法和极值分析缩小未知数的取值范围。

  学习了尾数法和倍数法分析不定方程,接下来我们通过以下例题来巩固一下这两种方法。

  【例3】超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?(    )

  A.3    B.4

  C.7    D.13

  【答案】D

  【解析】设大包装x个,小包装y个,可得不定方程:

  12x+5y=99

  奇偶性分析:“99”是奇数,“12x”是偶数,故“5y”是奇数,可得“y”是奇数。本题问的是未知数之间的差值(x-y或y-x),不适合代入排除,接下来考虑尾数法或倍数法。

  方法一:尾数法。因为“y”是奇数,故“5y”尾数是5,可得“12x”尾数是4,“x”的尾数是2或7,枚举出“x”的取值为2、12、22、32……或7、17、27、37……由于苹果的总数(99个)是有限的,因此,大包装的数量也是有限的,可得不等式:12x≤99,即x≤8.缩小“x”的取值范围,x=2、7,代入方程,解得对应的y=15、3,即“2个大包装+15个小包装”,或者“7个大包装+3个小包装”这两种方式都刚好包99个苹果,但是“7个大包装+3个小包装”与题目限定条件“共用了十多个盒子刚好装完”相悖,排除这组解。所以,满足题意的包装方式只能是“2个大包装+15个小包装”,两种包装盒相差13个。因此,本题选择D选项。

  方法二:倍数法。未知项“12x”与已知项“99”均是3的倍数,因此“5y”一定是3的倍数,“y”一定是3的倍数,又因“y”是奇数,根据这两个条件枚举出“y”的取值为3、9、15、21、27……由于苹果的总数(99个)是有限的,因此,小包装的数量也是有限的,可得不等式:5y≤99,即y≤19.缩小“y”的取值范围,y=3、9、15,代入方程,解得对应的x=7、9/2、2.第一组解“x=7,y=3”不满足“共用了十多个盒子刚好装完”,排除;第二组解大包装为9/2个,非整数,排除;第三组解“x=2,y=15”满足题意,两种包装盒相差13个。因此,本题选择D选项。

  小结一下不定方程一般的解题方法:

  ①若问题求得是未知数本身(x或y),可通过“奇偶性分析+代入排除”求解;

  ②若不定方程未知项的系数均为奇数,或者求的是未知数之间的关系(x+y或x-y),此时更多的需要依赖尾数法或者倍数法,并结合极值分析和枚举法缩小未知数的取值范围;

  ③当未知数的系数是5或者10的倍数时,该未知项的尾数取值情况较少,可采取尾数法分析;

  ④若某个未知项的系数与已知项均是某个整数(非1)的倍数,则另一个未知数一定也是这个整数的倍数,可采取倍数法分析。

enlightened湖北公务员考试 资讯

招录公告】【职位查询】【考试大纲考试时间报名入口

考试流程】【缴费确认】【备考指导】【照片调整历年真题

疯狂70晚】【网校课程】【笔试课程】【红领决胜】【公考新青年

扫一扫    马上和图图在线交流吧  !

2017国家公务员考试交流群:147460227

2017湖北公务员考试交流群205374853

 

(编辑:华图曾老师)

考试工具砖题库练题

最新招考
照片调整
直播讲座
职位查询
真题下载
时政热点
每日一练
砖 题 库
京ICP备11028696号-11 京ICP证130150号 京公网安备11010802021470号