2017省考备考：解不定方程——有法可依（二）

　　我们接着观察一下这个不定方程三个部分的尾数，“132”的尾数是2,“5x”的尾数是0或5,与之对应的可得“7y”的尾数是2或7,从而可以分析出“y”的尾数为6或1,我们可以枚举出“y”的取值为6、16、26、36……或1、11、21、31……由于钱的总数（132元）是有限的，因此，“7元”货币的数量也是有限的，可得不等式：7y≤132,即y≤18.此时，可缩小“y”的取值范围，y=6、16、1、11,代入方程，解得对应的x=18、4、25、11.所以，共有如下表所示的4种组合方式。因此，本题选择B选项。

　　通过例1,我们不难发现，如果不定方程中的两个未知数（x、y）的系数均为奇数（5、7），此时无法分析不定方程的奇偶性。可尝试采用尾数法，尾数法的使用也是有一定条件的，要求两个未知项（5x、7y）的某一项尾数取值情况较少，如例1中“5x”的系数是“5”的倍数，故“5x”的尾数只有2种可能性（0或5）。另外，当未知项的系数是“10”的倍数时，该未知项的尾数只有1种可能性（0）。我们可以总结出尾数法的使用条件：当未知数的系数是5或者10的倍数时，该未知项的尾数取值情况较少，可采取尾数法分析，并结合枚举法和极值分析缩小未知数的取值范围。

　　【例2】甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品。钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是（    ）。

　　A.12    B.13

　　C.16    D.19

　　根据题目条件，设甲、乙两种笔的数量分别为x、y,则可得方程：

　　7x+3y=60

　　与例1类似，两个未知项（7x、3y）的系数均为奇数，因此本题不能进行奇偶性分析。同时两个未知项的系数（7、3）均不是5或10的倍数，因此本题也不宜采用尾数法。

　　我们继续观察两个未知项的系数（7、3）与已知项（60），3和60均是3的倍数，即“3y”与“60”均是3的倍数，那么“7x”一定是3的倍数，进而可以判定“x”是3的倍数。本题要求“两种笔购买的支数最多”,那么购买的策略是贵的笔尽可能少买，便宜的笔尽可能多买，即令x取最小值3,解得，y取最大值13,此时x+y的取值最16.因此，本题选择C选项。

　　通过例2,我们可以总结出不定方程适用倍数法的条件：若某个未知项的系数与已知项均是某个整数（非1）的倍数，则另一个未知数一定也是这个整数的倍数，再结合枚举法和极值分析缩小未知数的取值范围。

　　学习了尾数法和倍数法分析不定方程，接下来我们通过以下例题来巩固一下这两种方法。

　　【例3】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？（    ）

　　A.3    B.4

　　C.7    D.13

　　【答案】D

　　【解析】设大包装x个，小包装y个，可得不定方程：

　　12x+5y=99

　　奇偶性分析：“99”是奇数，“12x”是偶数，故“5y”是奇数，可得“y”是奇数。本题问的是未知数之间的差值（x-y或y-x），不适合代入排除，接下来考虑尾数法或倍数法。

　　方法一：尾数法。因为“y”是奇数，故“5y”尾数是5,可得“12x”尾数是4,“x”的尾数是2或7,枚举出“x”的取值为2、12、22、32……或7、17、27、37……由于苹果的总数（99个）是有限的，因此，大包装的数量也是有限的，可得不等式：12x≤99,即x≤8.缩小“x”的取值范围，x=2、7,代入方程，解得对应的y=15、3,即“2个大包装+15个小包装”,或者“7个大包装+3个小包装”这两种方式都刚好包99个苹果，但是“7个大包装+3个小包装”与题目限定条件“共用了十多个盒子刚好装完”相悖，排除这组解。所以，满足题意的包装方式只能是“2个大包装+15个小包装”,两种包装盒相差13个。因此，本题选择D选项。

　　方法二：倍数法。未知项“12x”与已知项“99”均是3的倍数，因此“5y”一定是3的倍数，“y”一定是3的倍数，又因“y”是奇数，根据这两个条件枚举出“y”的取值为3、9、15、21、27……由于苹果的总数（99个）是有限的，因此，小包装的数量也是有限的，可得不等式：5y≤99,即y≤19.缩小“y”的取值范围，y=3、9、15,代入方程，解得对应的x=7、9/2、2.第一组解“x=7,y=3”不满足“共用了十多个盒子刚好装完”,排除；第二组解大包装为9/2个，非整数，排除；第三组解“x=2,y=15”满足题意，两种包装盒相差13个。因此，本题选择D选项。

　　小结一下不定方程一般的解题方法：

　　①若问题求得是未知数本身（x或y），可通过“奇偶性分析+代入排除”求解；

　　②若不定方程未知项的系数均为奇数，或者求的是未知数之间的关系（x+y或x-y），此时更多的需要依赖尾数法或者倍数法，并结合极值分析和枚举法缩小未知数的取值范围；

　　③当未知数的系数是5或者10的倍数时，该未知项的尾数取值情况较少，可采取尾数法分析；

　　④若某个未知项的系数与已知项均是某个整数（非1）的倍数，则另一个未知数一定也是这个整数的倍数，可采取倍数法分析。