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  一、核心提示与解题技巧

  分数数列是指以分数为主体,但规律却以分数的分子、分母为主体的数列形式。数列中出现分数并不意味着一定是分数数列。有少量分数(式)的数列,通常还可能是负幂次数列、多级做商数列、递推积商数列、递推倍数数列等。反之,分数数列中也可能会出现一些整数。

  解答分数数列常会用到以下技巧:

  观察特征:第一步可先观察分数数列是否具备一定的明显的外在特征。

  分组看待:以分数线为分组标志,分别观察分子数列、分母数列的规律得到结果。

  约分:将非最简分数化成最简分数。

  广义通分:将分母(或分子)化成相同的数。

  有 理 化:当分数的分子(分母)中含有根式时,对其进行分子(分母)有理化。

  反 约 分:将分子或分母扩大适当的倍数,以使数列呈现较为明显的规律。

  整 化 分:将数列中的整数化成分母为“1”或其他数值的分数的形式。

  二、典型真题精讲

  【例1】 -25,15,-8750,()。

  A. 8375B. 9375C. 7375D. 11375

  【解析】 本题正确答案为D。将数列各项化为:-410,15,-8750,()375。分母分成2组:(-10,5)和(-750,375),前项是后项的-2倍。而分子4,1,8,(11)头尾相减后得:11-4=8-1=7。所以正确答案为11375。

  【例2】 1,(),17,113,121。

  A. 0B. 1C. 12D. 13

  【解析】 本题正确答案为D。原数列可写为“11,(),17,113,121”,则知每个分数的分子都为1,设()=1x,则分母可构成数列“1,x,7,13,21”,该数列为二级等差数列,即:1,1+2,3+4,7+6,13+8,故x为3,()=13,选D。

  【例3】 154,53,1516,35,()。

  A. 314B. 512C. 511D. 37

  【解析】 本题正确答案为B。对原数列的分子进行通分,使分子都等于15,可得1522,1532,1542,1552,由此可知空缺项应为1562,即512。故选B。

  【例4】 628,2198,1884,942,()。

  A. 1256B. 1244C. 2560D. 2578

  【解析】 本题正确答案为A。分数数列。将这个数列的各个分数都化简,即可发现答案。

  628=314,2198=314,1884=314,942=314,A项化简也为314,故应选A。

  【例5】 12,35,813,2134,()。

  A. 3897B. 3889C. 5589D. 5597

  【解析】 本题正确答案为C。本题数列的规律为:从第二项开始,每一项的分子为前一项的分子与分母之和,分母为前一项的分母与自身分子之和。由此可推出空缺项的分子为21+34=55,分母为34+55=89,即5589。故选C。

  【例6】 0,73,225,457,769,()。

  A. 12B. 13C. 10311D. 11511

  【解析】 本题正确答案为D。分组观察:分母是等差数列,分子是二级等差数列。

  【例7】 1,12,611,1729,2338,()。

  A.  122199B.  117191C.  3147D.  2845

  【解析】 本题正确答案为A。可将原数列变为11,24,611,1729,4676,则分子=前一项分子+前一项分母,分母=分子+前一项分母+1,故()的分子为46+76=122,分母为122+76+1=199,选A。

  【例8】 2,1,1,12,14,()。

  A.  16B.  18C.  116D.  120

  【解析】 本题正确答案为C。数列从第三项开始,每一项等于前两项积的12。空缺项=12×14×12=116。

  【例9】 23,14,215,112,235,()。

  A. 132B. 332C. 124D. 526

  【解析】 本题正确答案为C。分子通分:23,28,215,224,235,(248)=124。分母为二级等差数列。

  【名师点评】 当分数的分子很容易化为同一个数时,将分子通分。

  【例10】 12,1,78,58,1332,()。

  A. 14B. 1564C. 1164D. 764

  【解析】 本题正确答案为A。

  反 约 分:12,44,78,1016,1332,(),故()=1664=14。

  【名师点评】 “反约分”是指同时扩大数列当中某些分数的分子与分母(分数大小不变),从而使得分数的分子数列与分母数列形成简单数列。“反约分”数列是分数数列中最具技巧的一类,也是现在分数数列命题的一个方向。

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(责任编辑:湖北华图)

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