2015年湖北省考行测备考：不定方程的求解之整除特性

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　　近年来，在国家公务员考试和湖北省公务员考试中经常会出现不定方程，是我们考试的重点，也是很多小伙伴们眼中的难点，须引起重视!关于不定方程的求解方法很多，比较常用的要数以下几种：代入排除、奇偶特性、尾数特性。在前几次的文章里，对于以上几种方法我们都有所讲解，本篇文章给大家提供不定方程的另外一种解答方法：整除特性。

　　首先我们用一道题目来了解一下整除特性怎么求解不定方程：

　　【例1】甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品。钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是()。

　　A. 12 B. 13

　　C. 16 D. 18

　　根据题目已知，设买甲笔x支，乙笔y支(x、y均为非负整数)。很明显题目中只有一个等量关系，可以得到等式：7x+3y=60。两个未知数一个定量关系，是典型的不定方程问题。

　　根据我们前面所讲解的，不定方程可以使用代入排除来求解，但是因为题目问的是两种笔最多可买多少支，需要从大到小逐个选项来试，这样比较麻烦。那么如果用奇偶特性来求解的话，我们只能辨别60是偶数，对于7x和3y的两项的奇偶特性均无法断定，因此奇偶特性失去作用。又因为方程里没有5x或者5y，所以尾数法在该题目中也无用武之地。那么这道题目可以怎么来解答呢?就是今天要给大家讲的整除特性求解不定方程。

　　观察定量关系7x+3y=60，会发现60和3y均为3的倍数，那么就可以得到余下的那一项7x也是3的倍数，这个也比较好理解：7x=60-3y=3(20-y)，20-y肯定为整数，所以7x也是3的倍数，从而得到x为3的倍数，当x=3时，代入得到y=13，这样x+y=16;再将x=6代入不定方程，得到y=6，此时x+y=12.当x=9时，7×9=63>60，所以x只能取3或者6，那么因为16比12要大，所以该题目答案为C。

　　很明显对于这道题目，在奇偶特性以及尾数法都发挥不到作用的时候，我们使用整除特性能够快速的得到答案。我们在做题目的时候要注意观察定量关系中的每一项，看能否找到其中两项均能够被某一个整数整除，那么余下的那一项也一定能够被这个数整除。而且，值得一提的是在许多题目里即便是可以使用其他方法，整除特性能够更加快速的得到答案。

　　那么接下来我们来看一道题目：

　　【例2】甲工人每小时可加工A零件3个或B零件6个，乙工人每小时可加工A零件2个或B零件7个。甲、乙两工人一天8小时共加工零件59个，甲、乙加工A零件分别用时为x小时、y小时，且x、y皆为整数，两名工人一天加工的零件总数相差()。

　　A.6个 B.7个

　　C.4个 D.5个

　　这是2012年湖北省考真题，是一道典型的不定方程问题。根据题目已有的假设：甲、乙加工A零件分别用时为x小时、y小时，再结合题目已知条件，有等量关系3x+6(8-x)+2y+7×(8-y)=59，整理得3x+5y=45，且x、y为小于等于8的整数。因为等量关系中有5y项，我们考虑使用尾数法，5y的尾数有两种5和0两种情况，当5y的尾数为5时，3x的尾数要为0，此时在范围内没有符合条件的数;当5y的尾数为0时，3x的尾数要为5，则在此范围内，x=5，代入方程得y=6。则甲一天做的零件数为3x+6(8-x)=3×5+6×3=33件，则乙一天做的零件数为59-33=26，则两名工人一天加工的零件总数相差33-26=7个。因此，本题答案选择B选项。

　　以上是使用尾数法来求解该不定方程，我们也可以使用整除特性来快速求解此题，通过观察此等量关系，发现5y、45均为5的倍数，那么余下的3x项也要是5的倍数，再结合x、y为小于等于8的整数，得到x=5，代入方程y=6，余下的步骤与尾数法相同。比较这两种方法，很明显整除特性更加能够快速的得到答案。

　　当我们熟悉的奇偶特性以及尾数特性“失灵”时，我们不妨考虑使用整除特性来求解不定方程，并且对于符合使用整除特性的不定方程，使用该特性可以达到作速做题的目的。希望大家好好掌握，多做练习熟能生巧!若在即将到来的湖北省公务员考试中遇到此类问题，可以使用此解题技巧将宝贵的一分拿到手!

（编辑：吴小军）